혼합 샘플링의 해석

C.V의 통계적 의미

채취 분체의 입도를 측정하여 얻는 질량 中位 지름등의 데이트는 어느 확률분포를 가진 변량 X(불규칙 변수,확률변수)의 실현값이라고 생각할 수 있다. 이와 같이 확률분포를 갖고 있는 변량의 집단을 모(母)집단이라 하고, 모집단에서 얻어낸 데이터를 표본(sample)이라고 한다. 불규칙 변수의 성질은 확률분포 합수에 의해 규정되며, 자연현상이나 공업에서 얻는 대부분은 다음 식의 정규분포로 근사한다.

...........................(1.1)

여기서, 를 모(母)평균, 를 모(母)분산이라 한다. 이 분포를 를 적용하여 規準化한 것을 정규분포 또는 規準型 정규분포라 하고, 의 값은 함수표에 나타냈다. 로 둘러싼 면적은 전체의 약 95%이다. 식(1.1)의 파라미터 및 및 은 일반적으로 未知이므로, 다음의 표본평균, 표본분산을 적용하여 각각 추정한다.

표본평균 ........................................(1.2)

표본분산 .............................(1.3a)

= ................(1.3b)

여기서, 는 계급으로 분할하였을 때 얻는 度數이다.

식 (1.2)의 분모를 n이 아니라 n-1로 하는 것은 이 不偏 분산이 되도록 하기 위한 것이며, 표본의 크기(sample size)n이 1에 비하여 크면 문제가 되지 않는다. 표본 분산의 평방근을 표본 표준편차라 한다.

모평균 μ의 신뢰도(1-p)의 신뢰 구간은 다음의 변량

t .........................................................(1.4)

가 自由度 의t 분포에 따르는 점에서 다음 식이 된다.

모평균이 어떤 방법으로 AA일 때 를 편차라 한다. 는 數表로 나타냈으며, 그 일부를 표1-1에 나타냈다. 식(4.5)의 t는 신뢰도(1-p)에서 < , p)로 된다.

모분산 의 신뢰도(1-p)의 신뢰 구간은

..............................................................(1.5)

	0.25	0.05	0.01
3	1.4226	3.1825	5.8409
4	1.3444	2.7764	4.6041
5	1.3009	2.5706	4.0321
6	1.2733	2.4469	3.7074
7	1.2543	2.3646	3.4995
8	1.2403	2.3060	3.3554
9	1.2297	2.2622	3.2498

표 1-1스튜던트의 t분포: t (

이 자유도 의 분포에 따르는 점에서 다음식이 된다.

.........................................(1.6)

샘플링의 정밀도 를 사용하여 나타낸다. 정밀도는 정밀함과 정확함의 양자 또는 어느 한쪽을 말하나, 일반적으로 정밀함을 정밀도라 이르는 경우가 많다. 표준편차 를 평균오차라 하고, (2.3) 를 公算 오차라 하며, 정밀함을 나타내는데 사용하고 이밖에 다음과 같은 변동계수(coefficient of variation)를 많이 사용한다.

CV= x100%

한편, 정확함은 앞에 설명한 치우침(편차)으로 나타낸다. 예를 들면, 벨트 끝에서 유하하는 분립체의 全流幅(전류폭)을 샘플링하는 방법이 가장 옳다고 할 때, 그 유폭의 일부에서 샘플링하는 방법이 가장 옳다고 할 때, 그 유폭의 일부에서 샘플링하는 방법의 정확함을 알기 위해서는 다음과 같이 하여 치우침(편차)를 구한다.

① 대응하는 데이터의 차 를 구한다. 는 바른 방법으로 얻은 데이터(예, 질량 中位지름), 는 대상으로 하는 방법에 의한 데이터.

② 차 의 不偏 분산 을 구한다.(단(1.3b)와 유사한 식)

③ 식 (4,5)에서 t를 구한다 (단 )

④ 스튜던트의 t 分布表에서 자유도 , 有意 수준 5%(p=0.05)에 대한 t( ,0.05)를 구한다.

⑤ t와 t( ,0.05)를 비교하여 이면 비교 대상으로 하는 간편법에는 치우침(편차)이 있다고 판정한다. 치우침(편차)의 크기는 로 나타낸다.

위의 순서로 치우침의 크기가 有意로 판정된 경우라도 당사자간의 협의에 의해 간편법을 채용할 수 있다.

C.V 의 적용예

1) C.V(Coefficient of Variation)구하는 방법
C.V란 일반적으로 분체 혼합에 관련된 용어로써, 혼합의 정밀도를 나타내는 근거가 되며, sampling한 각각의 sampling에서 추적인자(trace material)의 표준편차를 그 추적인자의 평균값으로 나눈 값에 100을 곱하면 그 혼합물의 c.v가 된다.

2) C.V 측정하는 방법
혼합하려는 원료 중 추적인자를 정한 뒤 혼합한다. 혼합 후 MIXER내부에서 골고루 (5~6곳)sampling을 한다. 각 sampling에서 추적인자의 함유량을 측정한 후 그들의 평균값과 표준편차를 구한다. 표준편차를 평균값으로 나눈 뒤100을 곱하면 그 혼합물의 C.V값을 구할 수 있다.

3) Example
혼합 후 10군데의 sampling 결과 각 sampling내의 추적인자 값의 함유량을 다음과 같이 가정한다.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	A.V	S.D	C.V
인자1	11.35	11.01	11.02	11.18	11.12	11.34	10.94	11.17	10.97	11.13	11.12	0.111	0.998
인자2	22.12	22.42	24.53	21.78	24.56	25.34	28.59	27.15	27.78	28.66	25.29	2.66	10.51
인자3	15.01	15.23	15.77	15.43	16.01	15.79	15.22	14.99	15.65	15.39	15.45	0.346	2.22

C.V = (표준편차 / 평균) * 100

일반적으로 분체 혼합에 있어서 C.V가 10이하 일 때를 Accepted Homogeneity로 인정하므로, 위의 결과를 보면 인자1과 인자3만 혼합도가 좋은 것으로 판정할 수 있으며 인자2는 혼합도가 떨어지는 것으로 간주한다.

인용문헌

1)Sinclair, D. and Lamer, V.K :Light scattering as measure of particle size in aerosols, Chem. Rev 44, 245 (1945)

2)Rapaport E, and Weinstocks, S.E: A generator for homogeneous aerosols, Experientia ,11,363 (1955)

3)Kousaka, Y, Okuyama, K, and Shimzu, A : Dispersion Mechanism of Aggregate Particle in Air, J.Chem. Eng. Japan, 12,152 (1979)

4)Espenscheid W.F.,Matijevic ,E. and Kerker, M.: Aersol studies by lights scattering. J.Phys. Chem.,68, 2831(1964)

혼합의 정의

혼합(mixing)이란 2종류 또는 그 이상의 분립체를 건조한 상태 또는 극소량의 액체가 들어있는 상태에서 뒤섞어 균일하게 분포시키는 조작이며, 분야에 따라서는 배합(blending)이라 부르는 경우도 있다. 대상으로 하는 부립체의 입자지름 범위는 넓고 충전상태는 바슬바슬(dry)부터 구덕구덕(pendular)의 범위에 있다. 개개의 분체 입자는 유체끼리 혼합할 때와 달라서 자기 확산적 성질을 갖지 않으므로, 외력을 가하여 강제적으로 운동을 시킬 필요가 있다. 분립체에 외력을 가하는 방법은 여러 가지가 있으며 그에 따라 여러 가지 혼합기가 개발되어 있다. 여러 형식의 혼합기중에서 목적에 맞는 것을 선정하기 위해서는 대상으로 하는 분립체 혼합물이 어느 정도 까지 균일하게 되는가(최종혼합도), 그것에 도달하자면 어느 정도의 시간이 걸리는가 (혼합속도), 그리고 혼합소요 동력 등을 알아야 한다. 또한 처리량과 조작방법(배치식인지 연속식인지) 교반, 혼합작용으로 인해 분체 입자가 파괴되는지의 여부 등도 검토할 필요가 있다.

혼합상태의 표시법 및 혼합과정

혼합도, 최종 혼합도

통상의 분립체 혼합조작에 있어 균질의 혼합물이란 (주목한 성분 입자를 발견하는 확률이 혼합물중의 어느 곳에서나 같은 혼합물)이라고 정의한다. 이와 같은 혼합물을 완전 불규칙 혼합물(perfectly random mixture)이라 하고, 또 통계적으로 완전 혼합상태라고 한다. 이와 같이 완전 혼합상태를 정의하면, 혼합물의 균질의 정도, 즉 혼합상태 또는 혼합도(degree of mixing)를 알기 위해 통계학적 수법(추정수법)을 자연히 도입한다. 2성분계(系) 혼합물에서 무작위로 채취한 N개의 스풋 샘플 속의 주목한 성분의 조성 x (i=1,2,...,N)에서 먼저 샘플 평균 xs를 계산한다.

.....................................................(2.1)

裝入組成 xc를 알고 있을 때 샘플링 조작이 적절하면 xs는 xc와 거의 같아야 하며, 샘플링의 타당성을 조사할 수 있다.

다음에 샘플링의 분산 은 다음 2가지로 정의한다.

= ..........................................(2.2)

= .......................................(2.3)

은 모집단의 분산의 자유도 =N 에서의 不偏 추정량이라 부르는 것이다. , 및 사이에는

-1.64 + 1.64 ..........................(2.4)

의 관계가 신뢰성이 90%로 성립한다.따라서 샘플의 분산 을 측정하면 그 값의 대소에 따라 혼합물의 균질의 정도를 추정할 수 있다. 즉 은 혼합도의 한가지 표현이며 실용상으로는 이것으로 충분하다. 그러나 은 여러 가지 측정조건 등의 영향을 받기 때문에 보편적인 척도가 될 수 없다. 그래서 표1-1과 같은 여러 가지 무차원화, 정규화를 제안하고 있다. 이 표의 은 완전혼합 상태의 샘플 분산이고, 또 는 완전 분리상태 (혼합하기 전) 에서의 샘플분산이며, 다음식으로 나타낸다

..................................................(2.5)

......................................................(2.6)

여기서, n은 샘플 싸이즈이며, 1개의 샘플 속에 함유된 분체 입자의 수이다. 표AA에 나타낸 여러 가지 혼합도는 결과적으로는 측정 조건의 영향을 받지 않는 표시방법으로 되어 있으나, 그렇다는 이론적인 보증은 전혀 없으며, 편의적이고, 직관적인 것이다. 다시 말하면, 예를 들어 폐(閉)구간 [ , ]을 폐구간 [0,1]에 寫像하여 어느 변(邊)을 확대해서 보느냐가 M의 정의에 따라 변화하는 것에 지나지 않는다. 또 다(多)성분계에 대한 혼합도도 共分散 매트릭스를 사용하여 똑같이 정의할 수 있으나, 계산하는데 노력이 들기 때문에 실용적으로 구성 성분 가운데 가장 중요한 성분(key component)에 대한 2성분계와 같은 취급을 하는 경우가 많다

** 대표적인 혼합도의 표시법 **

분류			혼합도 M의 표현	완전혼합Mo	완전혼합Mr
혼합의 정도를 나타내는것	Ⅰ	1	/	0	1
	Ⅰ	2		0	1
	Ⅱ		/	1	무한대
	Ⅲ				1
미 혼합의 정도를 나타내는것	Ⅳ	1		1
	Ⅳ	2	/	1	0
	Ⅴ				0
	Ⅵ	1
	Ⅵ	2

回分 혼합에서는 주목한 성분 조성의 공간적인 변동이 문제가 되기 때문에 혼합도에 관한 취급은 위에서 설명한 대로 하면 되나, 연속 혼합에서는 혼합기 출구에서의 주목한 성분 조성의 시간적 변동도 문제가 되므로, 취급 방법이 조금 달라진다. 즉 연속 혼합기에서의 혼합도는 일정한 조작 조건으로 운전중인 혼합기의 출구에서 배출되는 혼합물의 조성 변동의 대소로 나타낼 수 있다. 혼합기의 출구에서 불규칙하거나 일정한 시간간격으로 N조의 샘플을 채취하여, 각각의 조성을 로 하면, 그 시간적 변동의 분산 은 회분식의 경우와 마찬가지로 다음 식에서 구한다.

, ...........................(2.7)

여기서, 는 입구 조성(혼합비,공급비)이다. 식 (9.8)에서 정의한 혼합도 은 정상상태(x,/x0=1.0)에서는 샘플링 시간간격의 영향을 받지 않고, 다른 측정 조건 등의 영향을 실용상 적다는 것이 확인되었다.

샘플링 방법 등을 포함한 혼합도의 구체적인 방법에 대해서는 샘플링 해석 참조.

혼합기구

분립체의 혼합은 크게 나누어 다음의 3가지 운동을 수반하여 진행한다.

(1) 이동(對流) 혼합(conventive mixing)

혼합 용기 자체나 교반깃(패들 또는 리번)등의 회전으로, 또는 기류에 의한 추진으로 분체 입자군이 크게 위치를 이동하여, 혼합기 안에서 순환류가 형성되는 것과 같은 운동에 수반하여 생기는 혼합이다. 이 기구는 혼합물 전체의 거시적인 혼합에 크게 기여하고, 속도는 빠르나, 미시적인 혼합의 진행에는 거의 기여하지 않는다. 따라서, 회분 혼합에 대해서는 유익하나, 연속혼합에서는 일반적으로 좋지 않은 영향을 준다.

(2) 전단 혼합(shearing mixing)

분체 입자군 안의 속도 분포로 인해 생기는 입자 상호의 미끄럼(slip)이나 충돌 교반깃의 끝 부분과 용기 벽면 및 밑면 등 사이에서 분립체 集塊가 압축과 신장 등으로 분해되는 작용도 포함한 혼합 작용이다. 용기 회전형 혼합기에서는 경사면으로 흘러내리는 분체층이나 요기의 양 끝에서 나타나고, 또 기류형 혼합기에서는 흡입부분이나 흐름방향의 전환부분에 현저하게 나타낸다. 準徵視的인 혼합에 기여하고, 회분 및 연속혼합의 양자에 바람직한 작용이다.

(3) 확산 혼합(diffusive mixing)

근접한 입자 상호의 위치 교환에 의한 국부적인 혼합을 가리키며, 실제로는 입자의 모양, 충전 상태, 흐름방향의 속도차, 입자의 자전 등에서의 불규칙성에 기인한 이른바, 입자의 醉步(random wallk)로 인해 생기는 작용이다. 용기 회전형에서는 회전축 방향의 혼합이 이에 상당하고, 교반형에서는 깃 등이 직접 통과하지 않는 영역이 상당하고, 또 기류형에서는 플로 패턴이 명확하지 않은 층 상부 등의 혼합이 이에 상당한다. 이동 혼합에 비하여 진행속도는 현저하게 작으나, 조성의 균질화에는 불가결한 미시적인 혼합작용이다.

혼합곡선

실제의 혼합기에서는 앞에 설명한 3가지 혼합기구가 각각의 영역에서 독립하여 일어나는 갓이 아니라, 동시에 작용이 발생하면서 혼합이 진행된다. 혼합이 개시한 때부터 측정한 시간, 즉 혼합시간 t(연속 혼합의 경우는 분립체의 혼합기내 평균체류시간-혼합기내의 분립체의 체적을 체적유량으로 나눈 값)에 대한 혼합도 M의 변화를 플롯한 것을 혼합특성곡선(또는 그냥 혼합곡선)이라 하고, 혼합기의 성능을 표시하는 방법으로서 중요한 것이다. 그림 2-1은 혼합곡선의 일례를 모식적으로 나타낸 것이며,세로축은 샘플의 표준편차 의 대수를 나다냈다. 일반적으로 혼합과정의 초기 구간 I에서는 주로 對流혼합이 지배적이고, 中期 구간Ⅱ에서는 對流와 전단(剪斷)에 의해 정상적으로 혼합이 진행된다. 최종 단계 Ⅲ에서는 확산혼합의 효과가 나타나고,혼합과 분리의 두 작용리 동적 평형상태에 도달한다. 이때의 혼합도를 최종 혼합도 라 한다. 이 그림 2-1의 패턴은 혼합기의 종류에 따라 여러모로 변화한다. 또 는 조작 조건과 분립체의 물성에 따라 크게 영향을 받는다.